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一、人工智能数学基础——线性代数
阅读量:377 次
发布时间:2019-03-05

本文共 1226 字,大约阅读时间需要 4 分钟。

向量空间与线性代数基础

1 向量空间

1.1 定义与例子

向量空间是定义了加法和数乘运算的集合,这些运算满足结合律、交换律和分配律。例如,在二维空间中,向量可以表示为坐标点,如$(x, y)$。

1.2 向量的运算

向量的加法和数乘是向量空间的基本运算。向量加法对应于平行四边形法则,数乘对应于向量的缩放。

1.3 向量组的线性组合

向量组的线性组合是通过对每个向量乘以标量再相加得到的结果。线性组合可以表示为$ax_1 + bx_2 + cx_3$,其中$a$、$b$、$c$是标量。

1.4 向量组的线性相关性

向量组线性相关意味着存在不全为零的标量,使得线性组合结果为零向量。例如,若向量$a$、$b$、$c$满足$a + 2b + 3c = 0$,则向量组线性相关。

2 内积与范数

2.1 内积的定义

内积是两个向量的点积结果,计算公式为$a \cdot b = a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_nb_n$。

2.2 范数的定义

范数是向量空间中向量的长度度量,常见的范数有欧几里得范数和曼哈顿范数。

2.3 内积的几何解释

内积也可以理解为向量的投影乘以另一个向量的模长,即$a \cdot b = |a||b|\cos\theta$,其中$\theta$是两个向量之间的夹角。

3 矩阵与线性变换

3.1 矩阵的定义与例子

矩阵是线性变换在基向量上的数值描述,例如:$$A = \begin{pmatrix}1 & 2 \3 & 4\end{pmatrix}$$

3.2 线性变换的定义

线性变换是指保持向量加法和数乘运算的变换,例如矩阵变换。

3.3 矩阵的数值描述

矩阵可以通过选定基向量将线性变换表示为矩阵形式,矩阵的行列式表示变换的面积缩放倍数。

3.4 矩阵的运算

矩阵加法和数乘遵循分配律和结合律,矩阵乘法则用于描述向量间的线性变换。

3.5 矩阵的转置

矩阵转置是将行与列交换,用于改变矩阵的形状。

3.6 矩阵的行列式

行列式用于判断矩阵是否可逆,并表示变换的面积缩放倍数。

3.7 逆矩阵

逆矩阵是可逆矩阵的乘积,使得乘积为单位矩阵。

3.8 求解线性方程组

通过矩阵的行变换或高斯消元法求解线性方程组。

4 特征值与特征向量

4.1 定义与例子

特征值是矩阵在变换后的特征方向上的缩放系数,特征向量是对应于特征值的向量。

4.2 对称矩阵与正定矩阵

对称矩阵的特征值为实数,正定矩阵的所有特征值均为正数。

4.3 相似矩阵与对角化

相似矩阵是通过基变换得到的矩阵,相似矩阵可以对角化。

5 二次型

5.1 定义与例子

二次型是通过对称矩阵表示的向量间的关系,如$x^T A x$,其中$A$是对称矩阵。

6 本章要点总结

向量空间定义了线性代数的基础,内积与范数描述了向量间的几何关系。矩阵与线性变换将这些概念扩展到更高维度,特征值与特征向量揭示了矩阵的本质,二次型则用于研究向量间的二次关系。

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