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向量空间是定义了加法和数乘运算的集合，这些运算满足结合律、交换律和分配律。例如，在二维空间中，向量可以表示为坐标点，如$(x, y)$。
向量的加法和数乘是向量空间的基本运算。向量加法对应于平行四边形法则，数乘对应于向量的缩放。
向量组的线性组合是通过对每个向量乘以标量再相加得到的结果。线性组合可以表示为$ax_1 + bx_2 + cx_3$，其中$a$、$b$、$c$是标量。
向量组线性相关意味着存在不全为零的标量，使得线性组合结果为零向量。例如，若向量$a$、$b$、$c$满足$a + 2b + 3c = 0$，则向量组线性相关。
内积是两个向量的点积结果，计算公式为$a \cdot b = a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_nb_n$。
范数是向量空间中向量的长度度量，常见的范数有欧几里得范数和曼哈顿范数。
内积也可以理解为向量的投影乘以另一个向量的模长，即$a \cdot b = |a||b|\cos\theta$，其中$\theta$是两个向量之间的夹角。
矩阵是线性变换在基向量上的数值描述，例如： $$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{pmatrix} $$
线性变换是指保持向量加法和数乘运算的变换，例如矩阵变换。
矩阵可以通过选定基向量将线性变换表示为矩阵形式，矩阵的行列式表示变换的面积缩放倍数。
矩阵加法和数乘遵循分配律和结合律，矩阵乘法则用于描述向量间的线性变换。
矩阵转置是将行与列交换，用于改变矩阵的形状。
行列式用于判断矩阵是否可逆，并表示变换的面积缩放倍数。
逆矩阵是可逆矩阵的乘积，使得乘积为单位矩阵。
通过矩阵的行变换或高斯消元法求解线性方程组。
特征值是矩阵在变换后的特征方向上的缩放系数，特征向量是对应于特征值的向量。
对称矩阵的特征值为实数，正定矩阵的所有特征值均为正数。
相似矩阵是通过基变换得到的矩阵，相似矩阵可以对角化。
二次型是通过对称矩阵表示的向量间的关系，如$x^T A x$，其中$A$是对称矩阵。
向量空间定义了线性代数的基础，内积与范数描述了向量间的几何关系。矩阵与线性变换将这些概念扩展到更高维度，特征值与特征向量揭示了矩阵的本质，二次型则用于研究向量间的二次关系。
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